Metriche Riemanniane e Varietà Differenziabili

Obiettivo della Ricerca

L'obiettivo principale di questo progetto è di ottenere nuovi risultati nell'ambito della geometria Riemanniana e di alcune aree collegate. Gli oggetti principali della ricerca sono le varietà differenziabili, spazi che consentono sia indagini di carattere locale riguardanti la curvatura, sia un'analisi globale. In molti casi, questi spazi saranno dotati di strutture addizionali, introdotte in base a considerazioni di carattere matematico, oppure nel tentativo di descrivere fenomeni fisici. In tal modo, il progetto si collega alla geometria complessa e simplettica ed utilizza tecniche di algebra ed analisi. Molti problemi comportano la risoluzione di equazioni differenziali o sistemi algebrici allo scopo di ottenere la classificazione di alcune strutture geometriche globali.

Le ricerche sono suddivise in quattro sezioni principali. Ogni sezione è a sua volta ripartita in quattro sottosezioni allo scopo di mettere in evidenza l'organizzazione complessiva e la suddivisione dei compiti tra le cinque unità.

I. STRUTTURE SPECIALI

Ia. Geometria quaternionica ed ipercomplessa
Porremo l'enfasi sull'uso della geometria quaternionica nella costruzione di particolari quozienti e sottovarietà di spazi modello. Useremo tali tecniche per classificare (ad esempio) nuove metriche di Einstein, strutture HKT e varietà dotate di una 4-forma quaternionica chiusa.
Ib. Metriche conformemente parallele
Le tecniche di riduzione saranno applicate con successo alla costruzione di varietà LCK e delle superfici complesse di tipo VII_0. Useremo la teoria dei twistor per costruire nuove metriche Hermitiane ASD; un'attenzione particolare sarà riservata alle relative forme di Lee.
Ic. Geometria dell'applicazione momento
Studieremo metriche bilanciate su varietà non compatte ed estensioni di tecniche analoghe. Nel caso classico dell'azione Hamiltoniana su una varietà Kaehleriana o HK, proseguiremo una ricerca in termini dell'immagine della mappa momento. Un ulteriore studio riguarda il contesto simplettico più generale.
Id. Metriche pseudo-Riemanniane e distanze generalizzate
Consolidiamo lo studio degli spazi di Finsler e delle varietà di Lipschitz. Concetti differenziabili, come quelli provenienti dalle geodetiche, saranno tradotti in un contesto metrico più generale.

II. EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA

IIa. Metriche di Einstein ed equazioni di evoluzione
L'esistenza di metriche di Kaehler-Einstein su varietà compatte verrà estesa al caso di solitoni Kaehler-Ricci. Si ricercano poi metriche esplicite con gruppo di olonomia uguale a G_2 in dimensione 7, e studieremo la geometria e la topologia dei quozienti S^1 di metriche con olonomia eccezionale.
IIb. Connessioni e teoria di Yang-Mills
Studieremo delle classi speciali di G-strutture il cui tensore di torsione è una 3-forma chiusa. Le equazioni di Yang-Mills intervengono in varie sezioni del progetto. Alcuni membri studieranno la quantizzazione dei fibrati istantoni, varietà di Poisson, esempi provenienti dalle strutture di Einstein-Weyl e CR.
IIc. Teoria spettrale degli operatori differenziali
Si studierà la teoria spettrale degli operatori di Laplace e Dirac, con particolare attenzione allo spazio totale di fibrati. La teoria delle sottovarietà sarà collegata allo spettro del Laplaciano su p-forme e dell'operatore di Jacobi di un'immersione isometrica.
IId. Crescita e problemi isoperimetrici
Si indagherà il funzionale Entropia Volumica, nonché gli spazi per i quali tale funzionale assume valori vicini al minimo. Altre questioni riguardanti la crescita compariranno anche nello studio dei profili isoperimetrici.

III. GEOMETRIA DELLE SOTTOVARIETA'

IIIa. Sistemi differenziali esterni ed esistenza in astratto
La teoria dei sistemi differenziali esterni verrà applicata alla teoria delle superfici e delle ipersuperfici dello spazio euclideo e altre varietà. Tra le applicazioni si annovera lo studio delle superfici di Willmore, le superfici proiettivamente minimali, le loro deformazioni e trasformate. Risulta anche affrontabile da questo punto di vista lo studio delle sottovarietà speciali Lagrangiane di spazi Calabi-Yau.
IIIb. Sottovarietà di geometrie speciali
Un tema centrale sarà la teoria delle sottovarietà di varietà QK, basata sugli spazi associati tipo spazio dei twistori e spazi 3-Sasakiani. Lo studio delle azioni coisotrope su varietà simplettiche e delle azioni multiplicity-free su varietà Kaehleriane verrà espletato. Il gruppo di Torino intende studiare le ipersurfici in varietà (soprattutto in dimensione 5,6,7) con olonomia ridotta, sviluppando agganci con le sottovarietà 3-dimensionali Lagrangiane.
IIIc. Coomogeneità ed olonomia normale
I problemi specifici che si intendono affrontare includono la costruzione di metriche a curvatura sezionale non-negativa e l'ostruzione alla loro esistenza. Nel caso di un gruppo di Lie complesso con orbite di coomogeneità uno, intendiamo individuare le relazioni tra la topologia, il gruppo di automorfismi e la metrica di Bergmann. Per quanto riguarda lo studio dell'olonomia normale, il lavoro principale riguarderà la determinazione delle sottovarietà Kaehleriane dello spazio proiettivo complesso.
IIId. Sottovarietà minimali e mappe armoniche
Lo scopo è studiare superfici minimali e a curvatura media costante (CMC) nel prodotto di due superficie di Riemann, argomento trattato da membri delle Unità di L'Aquila e di Roma. Nel caso CMC, si pensa di ottenere un limite superiore sulla curvatura media per certi tipi topologici di immersione. Un problema correlato riguarda le curve in H^2 x R e nel gruppo di Heisenberg.

IV. GEOMETRIA DI CONTATTO E CR

IVa. Strutture CR omogenee e simmetriche
Il programma prevede lo studio delle proprietà delle varietà CR omogenee e dei modelli di Cartan, usando le algebre di Levi-Tanaka. Si lavorerà con la nozione più recente di spazio CR simmetrico, prestando particolare attenzione alle ostruzioni topologiche da una parte, e allo sviluppo di metriche di contatto su varietà localmente simmetriche dall'altra.
IVb. Applicazioni e morfismi armonici
Questo studio emerge dall'analisi del fibrato canonico in cerchi costruito su di una varietà CR strettamente pseudo-convessa, dotata della metrica di Fefferman (Lorentziana). Sarà sviluppata la teoria subellittica che ne segue e sarà messa in relazione all'analisi armonica sui gruppi di Heisenberg generalizzati. Si dovrebbe essere in grado di sviluppare l'analogo della teoria delle foliazioni e delle mappe (bi)armoniche in questo contesto.
IVc. Aspetti Hermitiani e simplettici
La costruzione di Boothby-Wang consente di associare una struttura quasi Hermitiana ad una varietà CR. Possono essere così studiate le relazioni tra la forma di Levi e il tensore di Nijenhuis, dal punto di vista della torsione intrinseca. Uno studio locale di ipersuperfici di dimensione 5 delle varietà di Calabi-Yau svilupperà l'uso degli spinori nell'ambito CR e porterà ad appropriate generalizzazioni delle condizioni di Sasaki-Einstein.
IVd. Fibrati, connessioni e stabilità
Verranno studiate le equazioni di Eulero-Lagrange per opportuni campi vettoriali, per esempio nel caso in cui la varietà base del fibrato è essa stessa una varietà Riemanniana di contatto. Ci si propone di studiare le connessioni che sono punti critici del funzionale di Yang-Mills rispetto alla metrica di Fefferman. Studieremo i valori al bordo di tali campi vettoriali su domini strettamente pseudo-convessi in C^n.